پاسخ فعالیت صفحه 10 ریاضی دوازدهم

حل تمرین فعالیت صفحه 10 ریاضی دوازدهم ### الف) این تابع اکیداً صعودی است یا اکیداً نزولی؟ **پاسخ:** این تابع **اکیداً صعودی** است. **دلیل:** هنگام حرکت روی نمودار از چپ به راست (یعنی با افزایش مقادیر $x$)، مقدار $y$ همواره افزایش می‌یابد. به عبارت دیگر، برای هر $x_1 < x_2$ در دامنه، داریم $f(x_1) < f(x_2)$. *** ### ب) این تابع یک به یک است؟ **پاسخ:** بله، این تابع **یک به یک** است. **دلیل:** از «آزمون خط افقی» استفاده می‌کنیم. هر خط افقی دلخواه (به موازات محور $x$)، نمودار تابع را **حداکثر در یک نقطه** قطع می‌کند. **نکته:** هر تابع **اکیداً صعودی** یا **اکیداً نزولی**، لزوماً **یک به یک** نیز هست. *** ### پ) آیا تابعی وجود دارد که اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد ولی یک به یک نباشد؟ **پاسخ:** خیر. **دلیل:** طبق تعریف: 1. **تابع یک به یک:** یعنی اگر $x_1 \ne x_2$ باشد، آنگاه $f(x_1) \ne f(x_2)$. 2. **تابع اکیداً صعودی:** یعنی اگر $x_1 < x_2$ باشد، آنگاه $f(x_1) < f(x_2)$. 3. **تابع اکیداً نزولی:** یعنی اگر $x_1 < x_2$ باشد، آنگاه $f(x_1) > f(x_2)$. در توابع اکیداً صعودی و اکیداً نزولی، برای هر دو مقدار متفاوت از $x$ (چه $x_1 < x_2$ یا $x_1 > x_2$)، مقادیر $y$ لزوماً متفاوت خواهند بود (یا $f(x_1) < f(x_2)$ یا $f(x_1) > f(x_2)$). بنابراین، شرط یک به یک بودن ($f(x_1) \ne f(x_2)$) به صورت خودکار برقرار می‌شود. به طور خلاصه، **اکیداً صعودی/نزولی بودن قوی‌تر از یک به یک بودن است** و آن را تضمین می‌کند.